Mathematische Beschreibung kontinuierlicher und diskreter Systeme (SYT)
Entwicklung und Einsatz technischer Systeme, wie elektronischer Schaltungen, elektrischer Antriebe, mechatronischer oder verfahrenstechnischer Prozesse, erfordern es, das dynamische Verhalten solcher Systeme mathematisch zu beschreiben.
Das Systemverhalten kann durch eine physikalische Modellbildung in Form von Differenzialgleichungen beschrieben werden. Statt der Lösung im Zeitbereich ist oft eine Laplace-, Fourier- oder Z-Transformation in den Bildbereich einfacher, um das Systemverhalten zu analysieren und die Differenzialgleichungen zu lösen. Das Systemverhalten kann aber auch durch Aufschalten bekannter Eingangssignale und Messung der Ausgangssignale als Systemantwort identifiziert werden. Hierzu werden Signale und Systeme in Zeit- und Frequenzbereich analysiert.
Obwohl reale Systeme kontinuierlich sind, müssen abgetastete Signale und das zeitdiskrete Systemverhalten mathematisch modelliert werden, um Systeme mit Mikrocontrollern und Rechnern digital zu steuern und zu regeln.
1. Einleitung
- Was ist ein System?
2. Laplace-Transformation zur Beschreibung kontinuierlicher Systeme
2.1 Definition der Laplace-Transformation
2.2 Eigenschaften der Laplace-Transformation
2.3 Inverse Laplace-Transformation
2.4 Übertragungsverhalten von LTI-Systemen
2.4.1 Übertragungsfunktion
2.4.2 Gewichtsfunktion und Impulsantwort
2.4.3 Übergangsfunktion und Sprungantwort
2.5 Stabilität von LTI-Systemen
2.5.1 Zeitverhalten und Pollage
2.5.2 Abschätzen der Sprungantwort
2.6 Messung der Übertragungsfunktion
2.6.1 Systemanalyse im Bode-Diagramm
2.6.2 Analyse durch Nyquist-Ortskurve
3. Spektralanalyse von Signalen durch Fourier-Transformation
3.1 Analyse periodischer Signale mit Fourier-Reihen (FR)
3.1.1 Trigonometrische Form der Fourier-Reihe
3.1.2 Komplexe Form der Fourier-Reihe
3.1.3 Einfluss auf LTI-Systeme
3.2 Analyse aperiodischer Signale mit Fourier-Transformation (FT)
3.2.1 Informationsgehalt von Signalen
3.2.2 Korrespondenzen der Fourier-Transformation
3.2.3 Eigenschaften der Fourier-Transformation
3.2.4 Spektrumsberechnung durch Impulsmethode
3.3 Fourier-Transformation für diskrete Signale
3.3.1 Abtastung von Signalen
3.3.2 Halteglied
3.3.3 Shannon’sches Abtasttheorem
3.3.4 Discrete Time Fourier Transform (DTFT)
3.4 Diskrete Fourier-Transformation (DFT)
3.4.1 DFT als Näherung der FT
3.4.2 Inverse DFT
3.5 Zusammenfassung
4. Z-Transformation zur Beschreibung zeitdiskreter Signale und Systeme
4.1 Beschreibung im Zeitbereich
4.2 Definition der Z-Transformation
4.3 Eigenschaften der Z-Transformation
4.4 Z-Übertragungsfunktion
4.4.1 Eigenschaften der Übertragungsfunktion
4.4.2 Ermittlung der Übergangsfunktion
4.5 Z-Rücktransformation
4.6 Ausblick: Digitale Filter und digitale Regler
5. Systembeschreibung im Zustandsraum
5.1 Zustandsgleichungen
5.2 Übertragungsfunktion für SISO-Systeme
5.3 Zustandsraumdarstellung bei Mehrgrößensystemen
5.4 Lösung der Differentialgleichung
5.5 Systemanalyse
5.5.1 Stabilität
5.5.2 Einschwingzeit
5.5.3 Übergangsverhalten
5.5.4 Zustandsregler
6. Zusammenfassung
Zur Vertiefung der in der Vorlesung vorgestellten Methoden finden 6 Pflichtübungen statt. Die Übungen bestehen jeweils aus drei Teilen: Die Aufgaben zur Vorbereitung sind selbständig vor der Übung in Hausarbeit zu lösen. In der Übung wird eine dieser Aufgaben in einem schriftlichen Test mit 10 min. Bearbeitungszeit abgefragt. Anschließend sind die auf den Hausaufgaben aufbauenden Übungsaufgaben zu lösen, die in der Übung besprochen werden. Zur Nachbereitung stehen weitere Aufgaben zur Verfügung, die freiwillig im Selbststudium zur Klausurvorbereitung gelöst werden können.
Übung 1: Laplace-Transformation und ihre Eigenschaften
Übung 2: Inverse Laplce-Transformation und Lösen von DGLen
Übung 3: Stabilität und Frequenzgang von LTI-Systemen
Übung 4: Fourier-Transformation und Signalabtastung
Übung 5: Z-Transformation
Übung 6: Zustandsraumdarstellung und Probeklausur
Lehrbuch mit SPS-Lern- und Übungsseite
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